TRIGONOMETRI 1

TRIGONOMETRI 1

A.  Perbandingan Trigonometri

1.    Perbandingan Trigonometri pada Segitiga Siku-Siku 

Dalam segitiga siku-siku ABC berlaku trigonometri sebagai berikut:
     

2.    Perbandingan Trigonometri Sudut-Sudut Istimewa

Disajikan dalam tabel berikut:

3.    Perbandingan Trigonometri Sudut Berelasi

-  Relasi di kuadran I (semua bernilai positif)

sin (90⁰ – α) = cos α

cos (90⁰ – α) = sin α

tan (90⁰ – α) = tan α

-  Relasi di kuadran II (sinus bernilai positif)

sin (180⁰ – α) = sin α

cos (180⁰ – α) = - cos α

tan (180⁰ – α) = - tan α

-  Relasi di kuadran III (tangen bernilai positif)

sin (180⁰  + α) = - sin α

cos (180⁰  + α) = - cos α

tan (180⁰  + α) = tan α

-  Relasi di kuadran IV (cosinus bernilai positif)

sin (360⁰  – α) = - sin α

cos (360⁰ – α) = cos α

tan (360⁰ – α) = - tan α

-  Relasi antara Sudut Positif dan Sudut Negatif

sin (– α) = - sin α

cos (– α) = cos α

tan (– α) = - tan α

B.   IDENTITAS DAN PERSAMAAN TRIGONOMETRI

1.    Identitas Trigonometri

Identitas trigonometri adalah persamaan trigonometri yang berlaku untuk semua nilai pengganti variabelnya. Beberapa rumus dasar :
1.  Sin²x + Cos²x = 1
     Sin²x = 1 – Cos²x
     Cos²x = 1 – Sin²x
2.  1 + tan²x = sec²x
     1 = sec²x – tan²x
     Tan²x = sec²x – 1
3.  1 + cotg²x = cosec²x
     1 = cosec²x – cotg²x
     Cotg²x = cosec²x – 1
Contoh : 
1.  Buktikan bahwa 5 tan²x + 4 = 5 sec²x – 1
Jawab :
    5 tan²x + 4 = 5 (sec²x – 1) + 4
                   = 5 sec²x – 5 + 4
                   = 5 sec²x – 1   (terbukti)
2.  Buktikan bahwa 3 cos²x + 3 sin²x = 3
Jawab :
3 cos²x + 3 sin²x = 3 (cos²x + sin²x)
                          = 3 . 1
                          = 3     (terbukti)

2.    Persamaan Trigonometri

Persamaan trigonometri adalah persamaan yang variabelnya merupakan besar sudut dalam trigonometri tersebut.
1.  Sin x = Sin p

    X₁ = p + k.360    atau    x₁ = p + k.2
    X₂ = (180 – p) + k.360       x₂ = (  - p) + k.2   

2.  Cos x = Cos p

   X₁ = p + k.360     atau     x₁ = p + k.2
   X₂ = -p + k.360    atau     x₂ = -p + k.2


3.  Tan x = Tan p

   X₁ = p + k.180     atau     x₁ = p + k.

Contoh :
Tentukan himpunan penyelesaian :
a.  Sin x = Sin 20⁰   ; 0≤ x ≤ 360^o
    x₁ = 20 + k.360 ,   untuk k = 0  →  x₁ = 20
                                         k = 1  →  x₂ = 20 + 360
                                                            = 380 (tidak memenuhi)
    
   x₂ = (180 – 20) + k.360,  untuk k = 0  → x₂ = 160
       Jadi HP = {20, 160}
b.  2 Cos x = √3    ; 0≤ x ≤ 360^o
                Cos x = 1/2 √3
                Cos x = Cos 30
                X₁ = 30 + k.360 ,  untuk   k = 0  →  x₁ = 30
                X₂ = -30 + k.360 ,  untuk  k = 0  →  x₂ = - 30 (tidak memenuhi)
                                                      k = 1 →  x₂ = 330
                HP = {30, 330}

C.   Rumus- Rumus Trigonometri dalam Segitiga

1.    Aturan Sinus

Perhatikan segitiga ABC berikut.


Berdasarkan segitiga ABC diatas, berlaku aturan sinus sebagai berikut:
 

Contoh :
1.  Pada segitiga ABC, b = 1, B= 30^o , C= 53,1^o.  Hitunglah c.
  Jawab :
 

    

   

  = 19, 2

2.  Pada segitiga ABC diketahui sisi b = 65, sisi c = 46. B=68,2^o . Hitunglah  C !
 

 

 

= 0,657

C = 41,1^o

2.    Aturan Cosinus

Perhatikan segitiga ABC berikut ini :


Berdasarkan segitiga tersebut berlaku :
   a² = b² + c² – 2bc cos
   b² = a² + c² – 2ac cos
   c² = a² + b² – 2ab cos
Contoh :
  Diketahui segitiga ABC, AB = 8 cm, AC = 5 cm,  = 60⁰.
  Hitung panjang BC !
Jawab :
  a² = b² + c² – 2bc cos A
      = 5² + 8² – 2.5.8. cos 60
      = 25 + 64 – 80. ½
      = 89 – 40
      = 49
  a   = 7 cm

3.    Luas Segitiga

1)      Luas segitiga dengan besar dua sisi dan satu sudut apit diketahui

  
   L = ½ b.c. sin A
   L = ½ a.b. sin C
   L = ½ a.c. sin B

2)      Luas segitiga dengan dua sudut dan satu sisi yang terletak diantara kedua sudut yang diketahui.

  
 
 

3)      Luas segitiga dengan ketiga sisinya diketahui

 
  s = ½ . Keliling Segitiga
     = ½ (a + b + c)