RUANG DIMENSI TIGA

RUANG DIMENSI TIGA

A. Kedudukan Titik, Garis, atau Bidang pada bangun ruang

1.  Kedudukan titik terhadap garis

    Jika diketahui sebuah titik T dan sebuah garis g, maka :

a. Titik T teletak pada garis g, tau garis g melalui titik T

b. Titik T berada diluar garis g, atau garis g tidak melalui titik T

2.  Kedudukan titik terhadap bidang

   Jika diketahui sebuah titik T dan sebuah bidang H, maka :

a. Titik T terletak pada bidang H, atau bidang H melalui titik T

b. Titik T berada diluar bidang H, atau bidang H tidak melalui titik T

3. Kedudukan garis terhadap garis

   Jika diketahui sebuah garis g dan sebuah garis h, maka :

a.  Garis g dan h terletak pada sebuah bidang, sehingga dapat terjadi :

• garis g dan h berhimpit, g = h
• garis g dan h berpotongan pada sebuah titik
• garis g dan h sejajar

b.  Garis g dan h tidak terletak pada sebuah bidang, atau garis g dan h bersilangan, yaitu kedua garis tidak sejajar dan tidak berpotongan.

4.  Kedudukan garis terhadap bidang

   Jika diketahui sebuah garis g dan sebuah bidang H, maka :

a.  Garis g terletak pada bidang H, atau bidang H melalui garis g.

b.  Garis g memotong bidang H, atau garis g menembus bidang H

c.  Garis g sejajar dengan bidang H

5.  Kedudukan bidang terhadap bidang

   Jika diketahui bidang V dan bidang H, maka :

a. Bidang V dan bidang H berhimpit

b. Bidang V dan bidang H sejajar

c. Bidang V dan bidang H berpotongan. Perpotongan kedua bidang berupa garis lurus yang disebut garis potong atau garis persdekutuan.

Contoh : 

Diketahui kubus ABCD.EFGH. Tentukan :

  a. Titik yang berada pada garis DF

  b. Titik yang berada diluar bidang BCHE

  c.  Garis yang sejajar dengan CF

  d. Garis yang berpotongan dengan BE

  e. Garis yang bersilangan dengan FG

  f. Bidang yang sejajar dengan bidang BDG

Jawab :

  a. Titik D dan F

  b. Titik A, D, F, G

  c. DE

  d. EA, EF, ED, EH

  e. AB, DC, AE, DH

  f. AFH

B. Jarak pada Bangun Ruang

1.  Menghitung jarak antara titik dan garis
   Jarak antara titik dan garis merupakan panjang ruas garis yang ditarik dari suatu titik sampai  memotong garis tersebut secara tegak lurus.

     
Jarak antara titik A dengan garis g adalah AB, karena AB tegak lurus dengan garis g.

2.  Menghitung jarak antara titik dan bidang
   Jarak antara titik dan bidang adalah panjang ruas garis yang ditarik dari suatu titik diluar bidang sampai memotong tegak lurus bidang.
  
Jarak titik A ke bidang H adalah AB, karena garis AB Tegak lurus dengan bidang H

3.  Menghitung jarak antara 2 garis
   a. Dua garis yang berpotongan tidak mempunyai jarak
   b. Jarak antara dua garis yang sejajar adalah panjang ruas garis yang ditarik dari suatu titik pada salah satu garis sejajar dan tegak lurus garis sejajar yang lain.
  

  c. Jarak dua garis bersilangan adalah panjang ruas garis hubung yang letaknya tegak lurus pada kedua garis bersilangan itu.  
 
Jarak antara garis g dan h adalah AB karena AB tegak lurus g dan h 

4.  Menghitung jarak antara garis dan bidang
  Jarak antara garis dan bidang yang sejajar adalah jarak antara salah satu titik pada garis tehadap bidang.
    
Jarak antara garis g dan Bidang H adalah AB, karena AB tegak lurus g dan Bidang H.

5.  Jarak antara dua bidang
  Jarak antara dua bidang yang sejajar sama dengan jarak antara sebuah titik pada salah satu bidang ke bidang yang lain.
 
Jarak antara bidang G dan H adalah AB.

C. Besar sudut pada Bangun Ruang

1. Sudut antara dua garis berpotongan
  Sudut antara dua garis berpotongan diambil sudut yang lancip. Garis g berpotongan dengan garis h di titik A, sudut yang dibentuk adalah .
 

2. Sudut antara dua garis bersilangan
   Sudut antara dua garis bersilangan ditentukan dengan membuat garis sejajar salah satu garis bersilangan tadi dan memotong garis yang lain dan sudut yang dimaksud adalah sudut antara dua garis berpotongan itu.
  
Garis g bersilangan dg h
Garis h₁ sejajar dengan h memotong g
Sudut antara g dan h sama dengan Sudut antara g dan h₁

3. Sudut antara garis dan bidang
    Sudut antara garis dan bidang hanya ada jika garis menembus bidang.  Sudut antara garis dan bidang adalah sudut antara garis dan proyeksinya pada bidang itu.
 
Garis g menembus bidang H dititik A.
Proyeksi garis g pada bidang H adalah g₁
Sudut antara garis g dengan bidang H adalah sudut yang dibentuk garis g dengan g₁

4. Sudut antara bidang dengan bidang
  Sudut antara dua bidang terjadi jika kedua bidang saling berpotongan. Untuk menentukannya sbb :
a. Tentukan garis potong kedua bidang
b. Tentukan sebarang garis pada bidang pertama yang tegak lurus garis potong kdua bidang
c. Pada bidang kedua buat pula garis yang tegak lurus garis potong kedua bidang dan berpotongan dengan garis pada bidang pertama tadi.
d. Sudut antara kedua bidang sama dengan sudut antara kedua garis tadi
   
Bidang G dan H berpotong pada garis (G,H). Garis g pada G tegak lurus gais (G,H). Garis h pada H tegak lurus garis (G,H). Sudut antara bidang G dan H sama dengan sudut antara garis g dan h

Contoh :
Diketahui kubus ABCD.EFGH dengan panjang rusuk 5 cm. Tentukan :
a. Besar sudut antara BG dan bidang ABCD
b. Cosinus sudut antara BH dan ABCD

Jawab :

a. Sudut antara BG dengan ABCD adalah sudut CBG = 45⁰
b. Cosinus sudut antara BH dengan ABCD adalah